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最新高考数学二轮复*专题八选修4系列不等式选讲课件

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专题八 选修4系列 不等式选讲(选修4—5) -3- 热点1 热点2 热点3 热点4 绝对值不等式的解法 【思考】 如何解绝对值不等式? 例1在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为 . 题后反思 绝对值不等式的求解方法: (1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:|ax+b|≤c?- c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,根据a,b的取值求解即 可. (2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想; ②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想; ③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. -4- 答案: - 3 2 ≤ ≤ 3 2 解析 原不等式可化为 < - 1 2 , 或 - 1 2 ≤ ≤ 1 2 , 或 1-2-2-1 ≤ 6 1-2 + 2 + 1 ≤ 6 > 1 2 , 2-1 + 2 + 1 ≤ 6,解得-32≤x≤32,即原不等式的解集为 - 3 2 ≤ ≤ 3 2 热点1 热点2 热点3 热点4 -5- 题后反思绝对值不等式的求解方法 (1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解 法:|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c,然后 根据 a,b 的取值求解即可. (2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想; ②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想; ③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. 热点1 热点2 热点3 热点4 -6- 对点训练1不等式|x-1|+|x+2|<5的解集为 . 答案:{x|-3<x<2} -7- 解析(方法一)由-2,1 把数轴分成三部分:x<-2,-2≤x≤1,x>1. 当 x<-2 时原不等式即 1-x-x-2<5, 解得-3<x<-2; 当-2≤x≤1 时,原不等式即 1-x+x+2<5, 因为 3<5 恒成立,则-2≤x≤1; 当 x>1 时,原不等式即 x-1+x+2<5,解得 1<x<2. 综上,原不等式的解集为{x|-3<x<2}. (方法二)不等式|x-1|+|x+2|<5 的几何意义为数轴上到-2,1 两个点 的距离之和小于 5 的点组成的集合,而-2,1 两个端点之间的距离为 3, 由于分布在-2,1 以外的点到-2,1 的距离在-2,1 外部的距离要计算两次, 而在-2,1 内部的距离则只计算一次,因此只要找出-2 左边到-2 的距离 等于52-3=1 的点-3,以及 1 右边到 1 的距离等于52-3=1 的点 2,这样就得 到原不等式的解集为{x|-3<x<2}. -8- 热点1 热点2 绝对值不等式的应用 【思考】 解决绝对值不等式的参数范围问题的常用方法有哪些? 例2设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.若?x∈R,f(x)≥2,则a的取值范围 是 . -9- 答案:(-∞,-1]∪[3,+∞) 解析若 a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件; -2 + + 1, ≤ , 若 a<1,f(x)= 1-, < < 1, f(x)的最小值为 1-a; 2-( + 1), ≥ 1, -2 + + 1, ≤ 1, 若 a>1,f(x)= -1,1 < < , f(x)的最小值为 a-1. 2-( + 1), ≥ , 故对于?x∈R,f(x)≥2 的充要条件是|a-1|≥2, 从而 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 热点1 热点2 -10- 题后反思 1.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法: (1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决; (2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值 或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值范围. 2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立?f(x)min>a;f(x)<a恒 成立?f(x)max<a;f(x)>a有解?f(x)max>a;f(x)<a有解 ?f(x)min<a;f(x)>a无解?f(x)max≤a;f(x)<a无解?f(x)min≥a. 热点1 热点2 -11- 对点训练2已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)当a=2时,不等式f(x)≥4的解集为 ; (2)若不等式f(x)≥2a恒成立,则实数a的取值范围为 . -12- 答案: ≤ - 1 2 或 ≥ 7 2 (2) -∞, 1 3 解析 (1)由 f(x)≥4,得 ≤ 1, 3-2 ≥ 4 或 1 1 < ≥ 4 < 2, 或 ≥ 2, 2-3 ≥ 4,解得 x≤-12或 x≥72, 故原不等式的解集为 ≤ - 1 2 或 ≥ 7 2 . (2)由不等式的性质得 f(x)≥|a-1|, 要使不等式 f(x)≥2a 恒成立, 则需|a-1|≥2a,解得 a≤-1 或 a≤13, 所以实数 a 的取值范围为 -∞, 1 3 . -13- 1.解绝对值不等式常用的三种解题思路及应用的思想为: (1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想; (2)利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想; (3)通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. 2.常用的证明不等式的方法: (1)比较法,比较法包括作差比较法和作商比较法; (2)综合法,利用某些已经证明过的不等



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