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河北省衡水市安*中学2019届高三数学上学期第五次月考试题理

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安*中学 2018-2019 学年上学期第五次月考 高三数学试题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|﹣3<x<2},B={x|3x>1},则 A∩(?RB)=( ) A.(﹣3,1] B.(1,2) C.(﹣3,0] D.[1,2)

2.复数

的虚部为( )

A. B. C.﹣ D.﹣ 3.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事 先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力 情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4.根据如下样本数据: x2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 得到的回归直线方程为 =10.5x+a,据此模型来预测当 x=20 时,y 的值为( ) A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5

5.设公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=2(a2+a3),则 =( )

A. B. C.7 D.14

6.已知双曲线

的渐*线为

,则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D. 7.如图所示,某几何体的三视图外围是三个边长为 2 的正方形,则该几何体的体积为( )

A. B. C.4 D.

8.命题 p:若 a<b,则 ac2<bc2;命题 q:? x0>0,使得 x0﹣1﹣lnx0=0,则下列命题为真命 题的是( ) A.p∧q B.p∨(¬q) C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q) 9.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,P 为 C 上一点,若∠OFP=120°,S△POF=( )

A.

B.2

C.



D.

10.不等式组

表示的*面区域为 D,若对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图

象上存在区域 D 上的点,则实数 a 的取值范围是( )

A.[1,3] B.(0,1)∪(1,3] C.[3,+∞) D.( ,1)∪[3,+∞)

11.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2 方向上的投影为( )

且| |=| |,则向量 在向量

A. B. C.﹣ D.﹣

12.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=2,点 C 在直径 AB 的延长线上,BC=1,点 P 是圆 O 上 半圆上的动点,以 PC 为边作等边三角形 PCD,且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧,记∠POB=x, 将△OPC 和△PCD 的面积之和表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)取最大值时 x 的值为( )

A. B. C. D.π

第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(共 4 题每题 5 分满分 20 分)

13.已知函数 f(x)=

,若 f(x)≤2,则 x 的取值范围是

14.已知正四面体 ABCD 的棱长为 l,E 是 AB 的中点,过 E 作其外接球的截面,则此截面面积 的最小值为 .

15.椭圆 C: + =1(a>b>0)的右顶点为 A,经过原 点的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q

两点,若|PQ|=a,AP⊥PQ,则椭圆 C 的离心率为 .

16.已知数列{an}满足 a1=1,且 式为

,且 n∈N*),则数列{an}的通项公

三.解答题:(解答题应写出必要的文字说明和演算步骤,17 题 10 分,18-22 每题 12 分)

17.已知函数



(1)求函数 y=f(x)在区间

上的最值;

(2)设△ABC 的内角 A、B 求 a、b 的值.

、C 的对边分别为 a、b、c,满足

,f(C)=1,且 sinB=2sinA,

18.某校拟在高一年级开设英语口语选修课,该年级男生 600 人,女生 480 人.按性别分层 抽样,抽取 90 名同学做意向调查.

(I)求抽取的 90 名同学中的男生人数;

(Ⅱ)将下列 2×2 列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为 “该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”?

愿意选修英语口语课程有效 不愿意选修英语口语课程 合计

男生 25

女生

合计

35

附:

,其中 n=a+b+c+d

P(K2≥k0) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005

k0

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

19.如 图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1 为上底面对角线的交点.

C1D1 的棱长均为 2,∠BAD=60°,M 为 BB1 的中点,Ol

(Ⅰ)求证:O1M⊥*面 ACM;

(Ⅱ)求 AD1 与*面 ADM 所成角的正弦值.

20.已知圆 P:(x﹣1)2+y2=8,圆心为 C 的动圆过点 M(﹣1,0)且与圆 P 相切. (1)求动圆圆心的轨迹方程; (2)若直线 y=kx+m 与圆心为 C 的轨迹相交于 A,B 两点,且 kOA?kOB=﹣ ,试判断△AOB 的面 积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.(O 为坐标原点)

21.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 2 ,右焦点 F(1,0),过 F 作两条互 相垂直的直线分别交椭圆 G 于点 A,B 和 C,D,设 AB,CD 的中点分别为 P,Q. (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)若直线 AB,CD 的斜率均存在,求 ? 的最大值,并证明直线 PQ 与 x 轴交于定点.

22.已知函数 f(x)=



(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的零点和极值; (3)若对任意 x1,x2∈[a,+∞),都有 f(x1)﹣f(x2)≥﹣ 成立,求实数 a 的最小值.

高三数学答案理 1-12 CACCC CDCAB AA 13.(﹣∞,﹣2]∪[﹣1,4] 14. 15.
16.an=

17.解:(1)∵

=

=

+sin2x﹣cos2x

=

=





,∴2x﹣



∴f(x)在 2x﹣ =﹣ ,即 x=﹣ 时,取最小值



在 2x﹣ = 时,即 x= 时,取最大值 1;

(2)f(C)=sin(2C﹣ )=1,

∵0<C<π ,0<2C<2π ,



,则

,C= .

∵sinB=2sinA , ∴由正弦定理得:b=2a,①

由余弦定理得:



即 c2=a2+b2﹣ab=3,② 解①②得:a=1,b=2. 18.解:(I)该校高一年级的男、女生比为 600:480=5:4,

所以,按分层抽样,男生应抽取的人数是 90× =50(名);

(Ⅱ)填写 2×2 列联表,如下;

愿意选修英语口语课程有效 不愿意选修英语口语课程 合计

男生 25

25

50

女生 30

10

40

合计 55

35

90

则 K2=

= ≈5.844>5.024,

所以,在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课 程与性别有关”.

19.证明:(Ⅰ)连接 AO1,CO1,

∵直四棱柱所有棱长均为 2,∠BAD=60°,M 为 BB1 的中点, ∴O1B1=1 ,B1M=BM=1,O1A1= , ∴O1M2=O1B12+B1M2=2,AM2=AB2+BM2=5,O1A2=O1A12+A1A2=7, ∴O1M2+AM2=O1A2,∴O1M⊥AM. 同理:O1M⊥CM,

又∵CM∩AM=M,AM? *面 ACM,CM? *面 ACM,

∴O1M⊥*面 ACM.

(Ⅱ)连结 BD 交 AC 于点 O,连接 OO1,

以 O 为坐 xyz,

标原点,OA,OB,OO1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O﹣

则 A( ,0,0),D(0,﹣1,0),D1(0,﹣1,2),M(0,1,1),

∴ =(﹣ ,﹣1,2), =(﹣ ,﹣1,0), =(0,2,1), 设*面 ADM 的一个法向量 =(x,y,z),



,∴

.令 x=1,得 =(1,﹣ ,2 ).

∴ , =4 ,| |=4,| |=2 ,

∴cos< , >=

=,

∴A D1 与*面 ADM 所成角的正弦值为 . 20.解:(Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 2 ,右焦点 F(1,0),



,解得 a= ,b= ,

∴椭圆 G 的方程为

=1.

(Ⅱ)F(1,0),由题意设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1),k≠0,



,得(3k2+2)x2﹣6k2x+3k2﹣6=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

,y1+y2=k(x1+x2)﹣2k=



∴AB 的中点 P(



),

又由题意得直线 CD 的方程为 y=﹣



同理,得 CD 的中点 Q(

),



=

=

=



=,

当且仅当

,即 k=±1 时,

有最大值 .

又当直线 PQ⊥x 轴时,

=



即 k=±1 时,直线 PQ 的方程为 x= ,恒过定点( ,0),

当直线有斜率时,kPQ=

=



∴直线 PQ 的方程为 y﹣



令 y=0,得 x=

=

= ,恒过定点(

),

综上,直线 PQ 恒过定点(

).

21.解:(1)函数 f(x)=

的导数为 f′(x)=



可得在点(0,f(0))处的切线斜率为﹣2,切点为(0,1),

即有切线的方程为 y=﹣2x+1; (2)由 f(x)=0,可得 x=1,即零点为 1; 由 x>2 时,f′(x)>0,f(x)递增;当 x<2 时,f′(x)<0,f(x)递减. 可得 x=2 处,f(x)取得极小值,且为﹣ ,无极大值; 22.

解 :(1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1),

将 y=k(x+1)代入



消去 y 整理得









由线段 AB 中点的横坐标是 ,得



解得

,适合①,

所以直线 AB 的方程为



(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使

; 为常数,

(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知, 所以
, 将③代入,整理得

,③



注意到

是与 k 无关的常数,从而有



此时



(ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A、B 的坐标分别为





时,亦有



综上,在 x 轴上存在定点

,使

为常数。




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